1)f(х)=х+9/х 2)f(x)=x+4/х найдите точки возрастания и убывания

Рассмотрим поочерёдно каждую функцию и найдём интервалы возрастания и убывания. Для этого воспользуемся производной: если производная положительна на интервале — функция возрастает, если отрицательна — убывает.

1) $f(x) = x + \frac{9}{x}$

Область определения: $x \ne 0$

Найдём производную:

Исследуем знак производной:

Приравниваем к нулю, чтобы найти критические точки:

Разбиваем область определения на интервалы:

• $(-\infty, -3)$

• $(-3, 0)$

• $(0, 3)$

• $(3, \infty)$

Проверим знак производной на каждом из интервалов:

• На $(-\infty, -3)$, например при $x = -4$:
  $f'(-4) = 1 - \frac{9}{16} > 0$ → функция возрастает

• На $(-3, 0)$, например при $x = -1$:
  $f'(-1) = 1 - 9 = -8 < 0$ → функция убывает

• На $(0, 3)$, например при $x = 1$:
  $f'(1) = 1 - 9 = -8 < 0$ → функция убывает

• На $(3, \infty)$, например при $x = 4$:
  $f'(4) = 1 - \frac{9}{16} > 0$ → функция возрастает

Ответ для первой функции:

• Возрастает на $(-\infty, -3) \cup (3, \infty)$

• Убывает на $(-3, 0) \cup (0, 3)$

2) $f(x) = x + \frac{4}{x}$

Область определения: $x \ne 0$

Найдём производную:

Приравниваем к нулю:

Интервалы:

• $(-\infty, -2)$

• $(-2, 0)$

• $(0, 2)$

• $(2, \infty)$

Проверим знак производной:

• На $(-\infty, -2)$, например при $x = -3$:
  $f'(-3) = 1 - \frac{4}{9} > 0$ → функция возрастает

• На $(-2, 0)$, например при $x = -1$:
  $f^{\mathrm{\prime }}(-1)=1-4=-3<0$