Найдите промежутки возрастания и убывания функции: \( y = 15 - 2x - x^2 \).

Для того чтобы найти промежутки возрастания и убывания функции $y = 15 - 2x - x^2$, нужно выполнить несколько шагов.

1. Найдем производную функции.

Производная функции $y = 15 - 2x - x^2$ определяет её скорость изменения, то есть, помогает определить, где функция возрастает или убывает.

$y' = \frac{d}{dx}(15 - 2x - x^2)$

При дифференцировании каждого слагаемого получаем:

2. Найдем критические точки.

Чтобы найти критические точки, при которых функция может менять характер возрастания или убывания, нужно приравнять производную к нулю:

Решим это уравнение:

3. Анализируем знак производной.

Теперь мы должны проанализировать знак производной в разных промежутках. Для этого рассмотрим три области: $(-\infty, -1)$, $(-1, \infty)$.

• Для $x < -1$, например, подставим $x = -2$ в выражение для производной:

Так как производная положительна, функция возрастает на интервале $(-\infty, -1)$.

• Для $x > -1$, например, подставим $x = 0$ в выражение для производной:

Так как производная отрицательна, функция убывает на интервале $(-1, \infty)$.

4. Ответ.

• Функция возрастает на интервале $(-\infty, -1)$.

• Функция убывает на интервале $(-1, \infty)$.