Разложите на множители квадратный трехчлен, выделив квадрат двучлена: a)x^2-10x+24 b)9x^2 -6x-3

Для того чтобы разложить квадратный трёхчлен на множители, можно воспользоваться методом выделения полного квадрата, а затем факторизацией. Рассмотрим каждый пример отдельно.

a) $x^2 - 10x + 24$

1. Рассмотрим выражение $x^2 - 10x + 24$.

2. Для выделения полного квадрата, нам нужно добавить и вычесть число, которое позволяет преобразовать $x^2 - 10x$ в полный квадрат. Число, которое нужно добавить, равно $\left(\frac{-10}{2}\right)^2 = 25$.

3. Тогда, преобразуем выражение:

   $$x^2 - 10x + 24 = (x^2 - 10x + 25) - 25 + 24 = (x - 5)^2 - 1$$

4. Теперь разложим разность квадратов:

   $$(x - 5)^2 - 1 = (x - 5 - 1)(x - 5 + 1) = (x - 6)(x - 4)$$

Итак, разложение на множители для $x^2 - 10x + 24$ выглядит так:

b) $9x^2 - 6x - 3$

1. Рассмотрим выражение $9x^2 - 6x - 3$.

2. Для выделения полного квадрата первым шагом будем вынести общий множитель из всех членов, который равен 3:

   $$9x^2 - 6x - 3 = 3(3x^2 - 2x - 1)$$

3. Теперь сосредоточимся на выражении $3x^2 - 2x - 1$. Чтобы выделить квадрат двучлена, добавим и вычтем необходимое число для $3x^2 - 2x$. Для этого нам нужно число $\left(\frac{-2}{2 \cdot 3}\right)^2 = \left(\frac{-2}{6}\right)^2 = \frac{1}{9}$.

4. Добавляем и вычитаем $\frac{1}{9}$ внутри скобок:

   $$3x^2 - 2x - 1 = 3\left(3x^2 - 2x + \frac{1}{9} - \frac{1}{9} - 1\right)$$

5. Преобразуем квадратный трёхчлен внутри скобок:

   $$3\left( \left( \sqrt{3}x - \frac{1}{3} \right)^2 - \frac{1}{9} - 1 \right)$$

6. Вычислим результат