Найди площадь закрашенной фигуры и периметр, если стороны равны 15 см, 9 см, 4 см и 6 см.

Решение

1. Определяем вид фигуры
   Четыре заданные стороны 15 см, 9 см, 6 см и 4 см естественно образуют выпуклый четырёхугольник, у которого две противоположные стороны различной длины (15 см и 9 см). Такой четырёхугольник удобно рассматривать как трапецию: основания — 15 см и 9 см, боковые рёбра — 6 см и 4 см.

2. Находим высоту трапеции
   Пусть от правого основания (9 см) опущены перпендикуляры к большему основанию. Разность оснований равна

   $$15-9 = 6\text{ см}.$$

   Разобьём её на два отрезка: $x$ и $6-x$. Тогда получаем два прямоугольных треугольника с гипотенузами 4 см и 6 см. Для их катетов выполняются уравнения

   $$\begin{cases} h^{2} + x^{2} = 4^{2} = 16,\\ h^{2} + (6-x)^{2} = 6^{2} = 36. \end{cases}$$

   Вычитаем первое из второго:

   $$(6-x)^{2} - x^{2} = 36 - 16 = 20 \;\;\Longrightarrow\;\; 36 - 12x = 20 \;\;\Longrightarrow\;\; x = \dfrac{4}{3}\text{ см}.$$

   Подставляем $x$ в первое уравнение:

   $$h^{2} = 16 - \left(\dfrac{4}{3}\right)^{2} = 16 - \dfrac{16}{9} = \dfrac{128}{9}, \quad h = \dfrac{8\sqrt{2}}{3}\text{ см}.$$

3. Вычисляем площадь
   Площадь трапеции

   $$S = \dfrac{a+b}{2}\,h = \dfrac{15+9}{2}\cdot\dfrac{8\sqrt{2}}{3} = 12\cdot\dfrac{8\sqrt{2}}{3} = \dfrac{96\sqrt{2}}{3} = 32\sqrt{2}\text{ см}^2.$$

4. Вычисляем периметр

   $$P = 15 + 9 + 6 + 4 = 34\text{ см}.$$

Ответ:
Площадь закрашенной фигуры $32\sqrt{2}\ \text{см}^2$; периметр $34\ \text{см}$.