Решить уравнение: а)|2х-3|=х-1 б)|х-4|-|8-2х|=4х в)х2-7|х|-8=0 г)|х^2+4х|≤х+28

а) Уравнение: |2x - 3| = x - 1

Для решения уравнения нужно рассмотреть два случая, так как у нас есть абсолютное значение.

1. Первый случай: 2x - 3 ≥ 0, тогда |2x - 3| = 2x - 3.
   Уравнение примет вид:
   $2x - 3 = x - 1$
   Переносим все x в одну сторону, а числа в другую:
   $2x - x = -1 + 3$
   $x = 2$

2. Второй случай: 2x - 3 < 0, тогда |2x - 3| = -(2x - 3) = -2x + 3.
   Уравнение примет вид:
   $-2x + 3 = x - 1$
   Переносим все x в одну сторону, а числа в другую:
   $-2x - x = -1 - 3$
   $-3x = -4$
   $x = \frac{4}{3}$

Теперь проверим, что решения подходят для каждого случая:

• Для первого случая x = 2, и подставив в исходное уравнение, получаем |2(2) - 3| = 2 - 1 → 1 = 1, что верно.

• Для второго случая x = 4/3, подставив, получаем |2(4/3) - 3| = 4/3 - 1 → |8/3 - 9/3| = 4/3 - 3/3 → 1 = 1, что тоже верно.

Ответ: x = 2 и x = 4/3.

б) Уравнение: |x - 4| - |8 - 2x| = 4x

Рассмотрим два выражения с абсолютными значениями, и разделим их на несколько случаев.

1. Первый случай: x ≥ 4, тогда |x - 4| = x - 4 и |8 - 2x| = 8 - 2x.
   Уравнение будет:
   $(x - 4) - (8 - 2x) = 4x$
   Упростим:
   $x - 4 - 8 + 2x = 4x$
   $3x - 12 = 4x$
   Переносим все x на одну сторону:
   $3x - 4x = 12$
   $-x = 12$
   $x = -12$
   Однако, мы предполагаем, что x ≥ 4, а x = -12 не удовлетворяет этому условию. Таким образом, решения в этом случае нет.

2. Второй случай: x < 4, тогда |x - 4| = 4 - x и |8 - 2x| = 8 - 2x.
   Уравнение будет:
   $(4 - x) - (8 - 2x) = 4x$
   Упростим:
   $4 - x - 8 + 2x = 4x$
   $x - 4 = 4x$
   Переносим все x на одну сторону:
   $x - 4x = 4$
   $-3x = 4$
   $x = -\frac{4}{3}$
   Это решение подходит, так как x < 4.

Ответ: x = -4/3.

в) Уравнение: x² - 7|x| - 8 = 0

Рассмотрим два случая для выражения с абсолютным значением.

1. Первый случай: x ≥ 0, тогда |x| = x, и уравнение будет:
   $x^2 - 7x - 8 = 0$
   Это квадратное уравнение, решаем его через дискриминант:
   $D = (-7)^2 - 4(1)(-8) = 49 + 32 = 81$
   $x = \frac{-(-7) \pm \sqrt{81}}{2(1)} = \frac{7 \pm 9}{2}$
   $x_1 = \frac{7 + 9}{2} = 8 \quad x_2 = \frac{7 - 9}{2} = -1$
   Так как x ≥ 0, то решение x = -1 не подходит. Оставляем x = 8.

2. Второй случай: x < 0, тогда |x| = -x, и уравнение будет:
   $x^2 + 7x - 8 = 0$
   Это также квадратное уравнение:
   $D = 7^2 - 4(1)(-8) = 49 + 32 = 81$
   $x = \frac{-7 \pm \sqrt{81}}{2(1)} = \frac{-7 \pm 9}{2}$
   $x_1 = \frac{-7 + 9}{2} = 1 \quad x_2 = \frac{-7 - 9}{2} = -8$
   Так как x < 0, то x = 1 не подходит. Оставляем x = -8.

Ответ: x = 8 и x = -8.

г) Неравенство: |x² + 4x| ≤ x + 28

1. Первый случай: x² + 4x ≥ 0, тогда |x² + 4x| = x² + 4x.
   Неравенство будет:
   $x^2 + 4x ≤ x + 28$
   Переносим все в одну сторону:
   $x^2 + 4x - x - 28 ≤ 0$
   $x^2 + 3x - 28 ≤ 0$
   Решаем квадратное неравенство:
   Найдем корни уравнения x² + 3x - 28 = 0 через дискриминант:
   $D = 3^2 - 4(1)(-28) = 9 + 112 = 121$