Исследование функции с помощью производной: y = x^4 - 2x^2 + 3 и y = 2x^3 + 3x^2.

Для того чтобы исследовать функции с помощью производной, нужно выполнить несколько этапов, включая нахождение первой и второй производных, анализ их знаков и исследование поведения функции.

Функция 1: $y = x^4 - 2x^2 + 3$

1. Нахождение первой производной:
   Первая производная функции $y$ обозначает скорость изменения функции и даёт информацию о её наклоне.

   $$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x^4 - 2x^2 + 3) = 4x^3 - 4x$$

2. Нахождение второй производной:
   Вторая производная позволяет определить выпуклость или вогнутость графика функции (выпуклая или вогнутая функция) и найти точки перегиба.

   $$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}(4x^3 - 4x) = 12x^2 - 4$$

3. Нахождение критических точек:
   Чтобы найти критические точки (где наклон функции равен нулю), нужно приравнять первую производную к нулю:

   $$4x^3 - 4x = 0 \quad \Rightarrow \quad 4x(x^2 - 1) = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 0, x = 1, x = -1$$

   Таким образом, критические точки функции — это $x = 0, x = 1, x = -1$.

4. Анализ на основе второй производной:
   Чтобы понять, являются ли найденные критические точки минимумом или максимумом, проверим знак второй производной в этих точках.

   • Для $x = 0$:

     $$\frac{d^2y}{dx^2} = 12(0)^2 - 4 = -4 \quad (\text{отрицательно}, \text{точка максимума}).$$

   • Для $x = 1$:

     $$\frac{d^2y}{dx^2} = 12(1)^2 - 4 = 8 \quad (\text{положительно}, \text{точка минимума}).$$

   • Для $x = -1$:

     $$\frac{d^2y}{dx^2} = 12(-1)^2 - 4 = 8 \quad (\text{положительно}, \text{точка минимума}).$$

5. Общий вывод:

   • В точке $x = 0$ локальный максимум.

   • В точках $x = 1$ и $x = -1$ локальные минимумы.

Функция 2: $y = 2x^3 + 3x^2$

1. Нахождение первой производной:
   Первая производная:

   $$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(2x^3 + 3x^2) = 6x^2 + 6x$$

2. Нахождение второй производной:
   Вторая производная:

   $$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}(6x^2 + 6x) = 12x + 6$$

3. Нахождение критических точек:
   Приравниваем первую производную к нулю:

   $$6x^2 + 6x = 0 \quad \Rightarrow \quad 6x(x + 1) = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 0, x = -1$$

   Критические точки — $x = 0, x = -1$.

4. Анализ на основе второй производной:
   Проверим знак второй производной в этих точках:

   • Для $x = 0$:

     $$\frac{d^2y}{dx^2} = 12(0) + 6 = 6 \quad (\text{положительно}, \text{точка минимума}).$$

   • Для $x = -1$:

     $$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}$$