X^3+6x^2=9x+54 решить

Давайте решим уравнение $x^3 + 6x^2 = 9x + 54$.

1. Переносим все слагаемые на одну сторону уравнения:

   $$x^3 + 6x^2 - 9x - 54 = 0$$

2. Попробуем найти рациональные корни этого уравнения методом подбора. Для этого воспользуемся теоремой о рациональных корнях. Согласно ей, возможные рациональные корни — это делители свободного члена (-54), делённые на делители старшего коэффициента (1).

   Делители -54: $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6, \pm 9, \pm 18, \pm 27, \pm 54$.
   Делители 1: $\pm 1$.

   То есть возможные корни: $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6, \pm 9, \pm 18, \pm 27, \pm 54$.

3. Начнем с подбора. Подставим $x = 3$:

   $$3^3 + 6 \cdot 3^2 - 9 \cdot 3 - 54 = 27 + 54 - 27 - 54 = 0.$$

   Значит, $x = 3$ — корень уравнения.

4. Разделим многочлен $x^3 + 6x^2 - 9x - 54$ на $x - 3$ с помощью деления многочленов. Используем схему Горнера для удобства.

   Делим $x^3 + 6x^2 - 9x - 54$ на $x - 3$:

   1. $x^3 \div x = x^2$.

   2. Умножаем $x^2$ на $x - 3$ и вычитаем из исходного многочлена:

      $$(x^3 + 6x^2) - (x^3 - 3x^2) = 9x^2.$$

   3. $9x^2 \div x = 9x$.

   4. Умножаем $9x$ на $x - 3$ и вычитаем:

      $$(9x^2 - 9x) - (9x^2 - 27x) = 18x.$$

   5. $18x \div x = 18$.

   6. Умножаем $18$ на $x - 3$ и вычитаем:

      $$(18x - 54) - (18x - 54) = 0.$$

   Таким образом, мы получили частное $x^2 + 9x + 18$.

5. Теперь у нас есть разложение:

   $$x^3 + 6x^2 - 9x - 54 = (x - 3)(x^2 + 9x + 18).$$

6. Решим квадратное уравнение $x^2 + 9x + 18 = 0$ с помощью дискриминанта:

   $$D = 9^2 - 4 \cdot 1 \cdot 18 = 81 - 72 = 9.$$

   Корни уравнения:

   $$x = \frac{-9 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{-9 \pm 3}{2}.$$

   Таким образом, корни:

   $$x_1 = \frac{-9 + 3}{2} = -3, \quad x_2 = \frac{-9 - 3}{2} = -6.$$

7. Все корни уравнения: $x = 3, x = -3, x = -6$.

Ответ: $x = 3, x = -3, x = -6$.