Решить неравенство (2-x)(3x+1)(2x-3)<0

Для того чтобы решить неравенство $(2 - x)(3x + 1)(2x - 3) > 0$, нужно выполнить несколько шагов.

1. Найдем нули выражений в скобках.

Это те значения $x$, при которых произведение равно нулю:

• $2 - x = 0$ дает $x = 2$.

• $3x + 1 = 0$ дает $x = -\frac{1}{3}$.

• $2x - 3 = 0$ дает $x = \frac{3}{2}$.

Таким образом, нули функции — это $x = 2$, $x = -\frac{1}{3}$, и $x = \frac{3}{2}$.

2. Построим числовую прямую.

Наносим на числовую прямую точки $x = -\frac{1}{3}$, $x = \frac{3}{2}$ и $x = 2$. Это разделяет прямую на интервалы:

• $(-\infty, -\frac{1}{3})$,

• $(-\frac{1}{3}, \frac{3}{2})$,

• $(\frac{3}{2}, 2)$,

• $(2, \infty)$.

3. Определим знак выражения на каждом интервале.

Для этого подставим в исходное выражение точки, принадлежащие каждому интервалу, и определим, какой знак будет у каждого множителя в произведении.

• На интервале $(-\infty, -\frac{1}{3})$ (например, для $x = -1$):

  • $2 - (-1) = 3$ (положительное),

  • $3(-1) + 1 = -2$ (отрицательное),

  • $2(-1) - 3 = -5$ (отрицательное).

  Произведение будет $3 \times (-2) \times (-5) = 30$ (положительное).

• На интервале $(-\frac{1}{3}, \frac{3}{2})$ (например, для $x = 0$):

  • $2 - 0 = 2$ (положительное),

  • $3(0) + 1 = 1$ (положительное),

  • $2(0) - 3 = -3$ (отрицательное).

  Произведение будет $2 \times 1 \times (-3) = -6$ (отрицательное).

• На интервале $(\frac{3}{2}, 2)$ (например, для $x = 1.7$):

  • $2 - 1.7 = 0.3$ (положительное),

  • $3(1.7) + 1 = 6.1$ (положительное),

  • $2(1.7) - 3 = 0.4$ (положительное).

  Произведение будет $0.3 \times 6.1 \times 0.4 = 0.732$ (положительное).

• На интервале $(2, \infty)$ (например, для $x = 3$):

  • $2 - 3 = -1$ (отрицательное),

  • $3(3) + 1 = 10$ (положительное),

  • $2(3) - 3 = 3$ (положительное).

  Произведение будет $(-1) \times 10 \times 3 = -30$ (отрицательное).

4. Интерпретируем результаты.

Нам нужно, чтобы произведение было больше нуля, то есть положительным. Это происходит на интервалах:

• $(-\infty, -\frac{1}{3})$,

• $(\frac{3}{2}, 2)$.

5. Записываем решение.

Ответ: $(-\infty, -\frac{1}{3}) \cup (\frac{3}{2}, 2)$