Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен 30 градусов. Найдите боковую сторону треугольника, если его площадь равна 529.

Для решения задачи нужно использовать формулы площади равнобедренного треугольника и свойства углов в нем.

1. Пусть основание треугольника обозначим как $b$, а боковые стороны — как $a$. Из условия задачи известно, что угол при вершине, противолежащей основанию, равен 30 градусов.

2. Площадь треугольника можно выразить через основание и высоту:

   $$S = \frac{1}{2} \times b \times h,$$

   где $h$ — высота треугольника. Площадь равна 529, следовательно:

   $$529 = \frac{1}{2} \times b \times h.$$

   Это можно переписать как:

   $$b \times h = 1058.$$

3. Рассмотрим треугольник, образованный высотой $h$, половиной основания $\frac{b}{2}$ и боковой стороной $a$. Этот треугольник прямоугольный, и угол при вершине равен 30 градусам. Мы можем использовать синус для нахождения высоты:

   $$\sin 30^\circ = \frac{h}{a} \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{2} = \frac{h}{a} \quad \Rightarrow \quad h = \frac{a}{2}.$$

4. Подставим это выражение для $h$ в уравнение для площади:

   $$b \times \frac{a}{2} = 1058 \quad \Rightarrow \quad b \times a = 2116.$$

5. Теперь рассмотрим косинус угла 30 градусов для нахождения основания $b$:

   $$\cos 30^\circ = \frac{\frac{b}{2}}{a} \quad \Rightarrow \quad \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\frac{b}{2}}{a} \quad \Rightarrow \quad b = \sqrt{3}a.$$

6. Подставим $b = \sqrt{3}a$ в уравнение $b \times a = 2116$:

   $$\sqrt{3}a \times a = 2116 \quad \Rightarrow \quad \sqrt{3}a^2 = 2116 \quad \Rightarrow \quad a^2 = \frac{2116}{\sqrt{3}}.$$

7. Теперь вычислим значение $a$:

   $$a^2 = \frac{2116}{\sqrt{3}} \approx \frac{2116}{1.732} \approx 1222.7 \quad \Rightarrow \quad a \approx \sqrt{1222.7} \approx 34.95.$$

Таким образом, боковая сторона треугольника приблизительно равна 35 единиц.