Угол при вершине, противолежащий основанию равнобедренного треугольника, равен 150°, а площадь треугольника равна 64. Найдите сторону основания.

Для того чтобы найти сторону основания равнобедренного треугольника, зная угол при вершине и площадь, можно использовать следующие шаги.

1. Определим угол при основании:

   В равнобедренном треугольнике углы при основании одинаковы. Угол при вершине равен 150°. Поскольку сумма всех углов треугольника равна 180°, угол при основании будет:

   $$180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$$

   Так как два угла при основании одинаковы, то каждый из них будет равен:

   $$\frac{30^\circ}{2} = 15^\circ$$

2. Используем формулу для площади треугольника:

   Площадь треугольника можно найти по формуле:

   $$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$$

   где $a$ — сторона основания, $h$ — высота треугольника.

3. Найдем высоту через сторону и угол:

   Высоту треугольника можно выразить через сторону $a$ и угол при основании с помощью тригонометрии. Высота будет равна:

   $$h = \frac{a}{2} \cdot \tan(15^\circ)$$

4. Подставим в формулу площади:

   Подставим выражение для высоты в формулу площади:

   $$64 = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \left( \frac{a}{2} \cdot \tan(15^\circ) \right)$$

   Упростим это:

   $$64 = \frac{a^2}{4} \cdot \tan(15^\circ)$$

   Из этого уравнения можно выразить сторону $a$:

   $$a^2 = \frac{64 \cdot 4}{\tan(15^\circ)}$$ $$a^2 = \frac{256}{\tan(15^\circ)}$$

   Теперь нужно вычислить $\tan(15^\circ)$. Это значение примерно равно 0.2679. Подставим это:

   $$a^2 = \frac{256}{0.2679} \approx 954.9$$ $$a \approx \sqrt{954.9} \approx 30.9$$

Итак, сторона основания треугольника равна примерно 30.9 единиц.