Решить иррациональное уравнение корень из 3x+1 минус корень из x+8 равно 1

Для того чтобы решить иррациональное уравнение $\sqrt{3x + 1} - \sqrt{x + 8} = 1$, давайте рассмотрим пошаговый процесс:

1. Переносим один из корней на другую сторону уравнения:

   $\sqrt{3x + 1} = \sqrt{x + 8} + 1$

2. Возводим обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от квадратных корней:

   $\left( \sqrt{3x + 1} \right)^2 = \left( \sqrt{x + 8} + 1 \right)^2$

   Получаем:

   $3x + 1 = (x + 8) + 2\sqrt{x + 8} + 1$

   Упростим правую часть:

   $3x + 1 = x + 9 + 2\sqrt{x + 8}$

3. Переносим все, что не содержит квадратного корня, на одну сторону:

   $3x + 1 - x - 9 = 2\sqrt{x + 8}$

   $2x - 8 = 2\sqrt{x + 8}$

   Упростим обе части:

   $x - 4 = \sqrt{x + 8}$

4. Возводим обе стороны уравнения в квадрат:

   $(x - 4)^2 = (\sqrt{x + 8})^2$

   Получаем:

   $(x - 4)^2 = x + 8$

   Раскрываем квадрат:

   $x^2 - 8x + 16 = x + 8$

5. Переносим все на одну сторону:

   $x^2 - 8x + 16 - x - 8 = 0$

   Упрощаем:

   $x^2 - 9x + 8 = 0$

6. Решаем квадратное уравнение:

   Используем формулу для решения квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$:

   $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

   Подставляем значения $a = 1$, $b = -9$, $c = 8$:

   $x = \frac{-(-9) \pm \sqrt{(-9)^2 - 4(1)(8)}}{2(1)}$

   $x = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 32}}{2}$

   $x = \frac{9 \pm \sqrt{49}}{2}$

   $x = \frac{9 \pm 7}{2}$

7. Находим два возможных значения для $x$:

   $x_1 = \frac{9 + 7}{2} = \frac{16}{2} = 8$