Учитель нарисовал квадрат ABCD и случайно выбирает 2 вершины. Какова вероятность того, что выбранные вершины соединяются диагональю?

Чтобы решить эту задачу, давайте разберемся, что происходит при выборе двух случайных вершин квадрата.

1. У квадрата 4 вершины: A, B, C и D.

2. Количество способов выбрать любые 2 вершины из 4 можно посчитать с помощью сочетаний: это будет $\binom{4}{2}$, что равно 6. То есть существует 6 возможных пар вершин, которые могут быть выбраны.

Теперь рассмотрим, какие из этих пар соединяются диагональю:

• Диагоналями квадрата являются отрезки AC и BD. Эти два отрезка соединяют противоположные вершины.

• Пары вершин, которые соединяются диагоналями: (A, C) и (B, D).

Таким образом, существует 2 пары вершин, которые соединяются диагональю.

Теперь можем посчитать вероятность. Всего существует 6 пар вершин, и 2 из них соединяются диагональю. Следовательно, вероятность того, что выбранные вершины соединяются диагональю, равна:

Ответ: вероятность того, что выбранные вершины соединяются диагональю, равна $\frac{1}{3}$.