найти наименьшее значение функции f(x) = x³ - 3x + 1 на отрезке [0; 2]

Для нахождения наименьшего значения функции $f(x) = x^3 - 3x + 1$ на отрезке $[0; 2]$, нужно выполнить несколько шагов.

1. Найти производную функции:
   Производная функции $f(x) = x^3 - 3x + 1$ равна:

   $$f'(x) = 3x^2 - 3$$

2. Найти критические точки:
   Для нахождения критических точек приравняем производную к нулю:

   $$3x^2 - 3 = 0$$

   Разделим обе стороны на 3:

   $$x^2 = 1$$

   Таким образом, $x = \pm 1$. Однако на отрезке $[0; 2]$ нас интересует только точка $x = 1$.

3. Оценить значения функции в критической точке и на концах отрезка:
   Мы должны вычислить значение функции $f(x)$ в точке $x = 1$ и на концах отрезка $x = 0$ и $x = 2$.

   • $f(0) = 0^3 - 3(0) + 1 = 1$

   • $f(1) = 1^3 - 3(1) + 1 = 1 - 3 + 1 = -1$

   • $f(2) = 2^3 - 3(2) + 1 = 8 - 6 + 1 = 3$

4. Сравнить значения функции:
   Значения функции на концах отрезка и в критической точке:

   • $f(0) = 1$

   • $f(1) = -1$

   • $f(2) = 3$

   Наименьшее значение функции на отрезке $[0; 2]$ достигается в точке $x = 1$, и оно равно $-1$.

Ответ: наименьшее значение функции на отрезке $[0; 2]$ равно $-1$.