Найти наименьшее и наибольшее значение функции \( y = 2x^3 - 6x \) на отрезке \([-4; 0]\).

Решение

1. Находим критические точки.
   $y = 2x^{3}-6x \;\Rightarrow\; y' = 6x^{2}-6 = 6\bigl(x^{2}-1\bigr)$.
   Приравняем к нулю: $6(x^{2}-1)=0 \;\Rightarrow\; x=\pm1$.

2. Отбираем точки, лежащие на отрезке $[-4;0]$.
   Из найденных $x=\pm1$ подходит только $x=-1$.

3. Вычисляем значения функции в концах отрезка и в критической точке.

4. Сравниваем полученные значения.
   $\displaystyle \max\{\,y(-4),\,y(-1),\,y(0)\} = 4$ (достигается при $x=-1$);
   $\displaystyle \min\{\,y(-4),\,y(-1),\,y(0)\} = -104$ (достигается при $x=-4$).

Ответ:

• Наименьшее значение функции на отрезке $[-4;0]$ равно $\boxed{-104}$ при $x=-4$.

• Наибольшее значение функции на отрезке $[-4;0]$ равно $\boxed{4}$ при $x=-1$.