Ромб и квадрат имеют одинаковые стороны. Найдите площадь ромба, если его острый угол равен 30 градусам, а площадь квадрата равна 64.

Для того чтобы найти площадь ромба, нужно сначала понять, как связаны данные величины.

1. Найдём сторону квадрата. Из условия задачи известно, что площадь квадрата равна 64. Площадь квадрата вычисляется по формуле:

   $$S_{\text{квадрата}} = a^2$$

   Где $a$ — это длина стороны квадрата. Из этого уравнения получаем:

   $$a^2 = 64 \implies a = 8$$

   То есть длина стороны квадрата, а значит и ромба, равна 8.

2. Используем формулу площади ромба. Площадь ромба можно вычислить через его стороны и угол между ними. Формула для площади ромба:

   $$S_{\text{ромба}} = a^2 \cdot \sin(\alpha)$$

   Где:

   • $a$ — длина стороны ромба (она равна 8, как мы выяснили),

   • $\alpha$ — острый угол ромба (в данном случае 30 градусов).

3. Подставим значения. Подставим известные значения в формулу для площади:

   $$S_{\text{ромба}} = 8^2 \cdot \sin(30^\circ)$$

   Так как $\sin(30^\circ) = 0.5$, получаем:

   $$S_{\text{ромба}} = 64 \cdot 0.5 = 32$$

Таким образом, площадь ромба равна 32 квадратных единицы.