Решите уравнение 6х^4-5х^2-1=0

Для решения уравнения $6x^4 - 5x^2 - 1 = 0$ можно воспользоваться подстановкой и преобразованием уравнения.

1. Подстановка:
   Введём новую переменную $y = x^2$. Это позволяет упростить уравнение, так как $x^4 = (x^2)^2 = y^2$.

   Таким образом, уравнение принимает вид:

   $$6y^2 - 5y - 1 = 0$$

2. Решение квадратного уравнения:
   Теперь нужно решить квадратное уравнение относительно $y$:

   $$6y^2 - 5y - 1 = 0$$

   Для этого применим формулу дискриминанта:

   $$D = b^2 - 4ac$$

   где $a = 6$, $b = -5$, и $c = -1$. Подставим эти значения:

   $$D = (-5)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-1) = 25 + 24 = 49$$

   Дискриминант равен 49, что означает, что у уравнения есть два действительных корня.

   Теперь находим корни с помощью формулы для корней квадратного уравнения:

   $$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}, \quad y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a}$$

   Подставляем значения:

   $$y_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{49}}{2 \cdot 6} = \frac{5 + 7}{12} = \frac{12}{12} = 1$$ $$y_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{49}}{2 \cdot 6} = \frac{5 - 7}{12} = \frac{-2}{12} = -\frac{1}{6}$$

3. Возвращаемся к переменной $x$:
   Теперь решим для $x$, используя $y = x^2$.

   • Для $y_1 = 1$:

     $$x^2 = 1 \quad \Rightarrow \quad x = \pm 1$$

   • Для $y_2 = -\frac{1}{6}$:

     $$x^2 = -\frac{1}{6}$$

     Это уравнение не имеет действительных решений, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным.

4. Ответ:
   Таким образом, уравнение $6x^4 - 5x^2 - 1 = 0$ имеет два действительных корня:

   $$x = 1 \quad \text{или} \quad x = -1$$