Найдите промежутки возрастания функции: у = 2х³ - 3x² - 12x.

Ответы на вопрос

Отвечает Рейзер Эрика.

Для нахождения промежутков возрастания функции $y = 2x^3 - 3x^2 - 12x$ , необходимо найти производную этой функции и исследовать её знак.

Нахождение производной:

Функция $y = 2x^3 - 3x^2 - 12x$ является многочленом. Для нахождения её производной применяем правила дифференцирования:

y' = \frac{d}{dx}(2x^3) - \frac{d}{dx}(3x^2) - \frac{d}{dx}(12x)

Производные отдельных членов:

\frac{d}{dx}(2x^3) = 6x^2

\frac{d}{dx}(3x^2) = 6x

\frac{d}{dx}(12x) = 12

Таким образом, производная функции:

y' = 6x^2 - 6x - 12

Нахождение критических точек:

Для нахождения критических точек, при которых функция может изменять своё направление возрастания или убывания, приравниваем производную к нулю:

6x^2 - 6x - 12 = 0

Упростим уравнение:

x^2 - x - 2 = 0

Решим это квадратное уравнение с помощью формулы:

x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(-2)}}{2(1)}

x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2}

x = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{2}

x = \frac{1 \pm 3}{2}

Таким образом, корни уравнения:

x = \frac{1 + 3}{2} = 2 \quad \text{и} \quad x = \frac{1 - 3}{2} = -1

Критические точки — $x = 2$ и $x = -1$ .

Исследование знака производной:

Теперь нужно исследовать знак производной $y' = 6x^2 - 6x - 12$ на интервалах, определённых критическими точками: $(-\infty, -1)$ , $(-1, 2)$ и $(2, +\infty)$ .

Для интервала $(-\infty, -1)$ , подставим $x = -2$ в производную:

y'(-2) = 6(-2)^2 - 6(-2) - 12 = 24 + 12 - 12 = 24 \quad (\text{положительное значение})

Для интервала $(-1, 2)$ , подставим $x = 0$ в производную:

y'(0) = 6(0)^2 - 6(0) - 12 = -12 \quad (\text{отрицательное значение})

Для интервала $(2, +\infty)$ , подставим $x = 3$ в производную:

y'(3) = 6(3)^2 - 6(3) - 12 = 54 - 18 - 12 = 24 \quad (\text{положительное значение})

Найдите промежутки возрастания функции: у = 2х³ - 3x² - 12x.

Ответы на вопрос

Похожие вопросы

Топ вопросов за вчера в категории Математика

Последние заданные вопросы в категории Математика