Докажите неравенство cos2a = (1 - tg²a)/(1 + tg²a)

Давайте докажем, что $\cos(2a) = \frac{1 - \tan^2(a)}{1 + \tan^2(a)}$.

1. Начнем с использования формулы для $\cos(2a)$, которая известна из тригонометрии:

   $$\cos(2a) = \cos^2(a) - \sin^2(a)$$

2. Теперь, воспользуемся известными выражениями для $\cos(a)$ и $\sin(a)$ через тангенс:

   $$\tan(a) = \frac{\sin(a)}{\cos(a)}$$

   То есть, $\sin(a) = \tan(a) \cdot \cos(a)$.

3. Подставим это в выражение для $\cos(2a)$. Мы выразим $\sin^2(a)$ и $\cos^2(a)$ через $\tan^2(a)$.

   • $\sin^2(a) = (\tan(a) \cdot \cos(a))^2 = \tan^2(a) \cdot \cos^2(a)$,

   • $\cos^2(a)$ оставляем как есть.

   Тогда:

   $$\cos(2a) = \cos^2(a) - \tan^2(a) \cdot \cos^2(a)$$

4. Вынесем $\cos^2(a)$ за скобки:

   $$\cos(2a) = \cos^2(a) \left( 1 - \tan^2(a) \right)$$

5. Теперь, из тригонометрической тождества $\cos^2(a) + \sin^2(a) = 1$, мы знаем, что $\cos^2(a) = \frac{1}{1 + \tan^2(a)}$.

6. Подставим это выражение для $\cos^2(a)$ в полученную формулу:

   $$\cos(2a) = \frac{1}{1 + \tan^2(a)} \left( 1 - \tan^2(a) \right)$$

7. Преобразуем выражение в числитель:

   $$\cos(2a) = \frac{1 - \tan^2(a)}{1 + \tan^2(a)}$$

Таким образом, мы пришли к нужному результату и доказали, что: