1 + tg²a = tg²a / sin²a. Докажите тождество.

Ответы на вопрос

Отвечает Shashikyan Natali.

Чтобы доказать тождество $1 + \tan^2 a = \frac{\tan^2 a}{\sin^2 a}$ , начнем с преобразования левой и правой части уравнения.

Известно, что:

\sin^2 a + \cos^2 a = 1

И также, что:

\tan a = \frac{\sin a}{\cos a}

Следовательно:

\tan^2 a = \frac{\sin^2 a}{\cos^2 a}

Левая часть тождества — это $1 + \tan^2 a$ . Подставим выражение для $\tan^2 a$ :

1 + \tan^2 a = 1 + \frac{\sin^2 a}{\cos^2 a}

Приведем к общему знаменателю:

1 + \frac{\sin^2 a}{\cos^2 a} = \frac{\cos^2 a}{\cos^2 a} + \frac{\sin^2 a}{\cos^2 a} = \frac{\cos^2 a + \sin^2 a}{\cos^2 a}

Используя тождество $\cos^2 a + \sin^2 a = 1$ , получаем:

\frac{\cos^2 a + \sin^2 a}{\cos^2 a} = \frac{1}{\cos^2 a}

Таким образом:

1 + \tan^2 a = \frac{1}{\cos^2 a}

Теперь рассмотрим правую часть тождества:

\frac{\tan^2 a}{\sin^2 a}

Подставим выражение для $\tan^2 a$ :

\frac{\tan^2 a}{\sin^2 a} = \frac{\frac{\sin^2 a}{\cos^2 a}}{\sin^2 a} = \frac{1}{\cos^2 a}

Таким образом, правая часть тоже равна $\frac{1}{\cos^2 a}$ .

Теперь, когда мы преобразовали обе части, мы видим, что левая и правая части тождества совпадают:

\frac{1}{\cos^2 a} = \frac{1}{\cos^2 a}

Это подтверждает, что тождество $1 + \tan^2 a = \frac{\tan^2 a}{\sin^2 a}$ верно.

Таким образом, тождество доказано.

Похожие вопросы

Ответы на вопрос