1 + tg²a = tg²a / sin²a. Докажите тождество.

Чтобы доказать тождество $1 + \tan^2 a = \frac{\tan^2 a}{\sin^2 a}$, начнем с преобразования левой и правой части уравнения.

Шаг 1: Используем основные тригонометрические тождества

Известно, что:

И также, что:

Следовательно:

Шаг 2: Перепишем левую часть тождества

Левая часть тождества — это $1 + \tan^2 a$. Подставим выражение для $\tan^2 a$:

Приведем к общему знаменателю:

Используя тождество $\cos^2 a + \sin^2 a = 1$, получаем:

Таким образом:

Шаг 3: Перепишем правую часть тождества

Теперь рассмотрим правую часть тождества:

Подставим выражение для $\tan^2 a$:

Таким образом, правая часть тоже равна $\frac{1}{\cos^2 a}$.

Шаг 4: Сравниваем обе части

Теперь, когда мы преобразовали обе части, мы видим, что левая и правая части тождества совпадают:

Это подтверждает, что тождество $1 + \tan^2 a = \frac{\tan^2 a}{\sin^2 a}$ верно.

Таким образом, тождество доказано.