Решите неравенство \(2x - x^2 > 0\).

Для решения неравенства $2x - x^2 > 0$ сначала перепишем его в стандартной форме:

Затем умножим обе части неравенства на $-1$ (не забываем при этом поменять знак неравенства):

Теперь решим это неравенство. Для этого сначала разложим его на множители. Мы можем вынести общий множитель $x$ за скобки:

Теперь решим неравенство $x(x - 2) < 0$. Это неравенство описывает, когда произведение двух чисел $x$ и $x - 2$ отрицательно. Мы будем рассматривать знаки этих выражений на разных интервалах, разделив числа $x = 0$ и $x = 2$, которые делают произведение равным нулю.

Рассмотрим три интервала:

1. $x < 0$

2. $0 < x < 2$

3. $x > 2$

Теперь проверим знак произведения на каждом из этих интервалов.

• Для $x < 0$: обе множители $x$ и $x - 2$ отрицательны, произведение будет положительным.

• Для $0 < x < 2$: $x$ положителен, а $x - 2$ отрицателен, произведение будет отрицательным.

• Для $x > 2$: оба множителя положительны, произведение будет положительным.

Таким образом, неравенство $x(x - 2) < 0$ выполняется только на интервале $0 < x < 2$.

Ответ: решение неравенства $2x - x^2 > 0$ — это интервал $x \in (0, 2)$.