Найти катеты точек пересечения параболы y=5x²-1 и прямой y-2x=2.

Для нахождения точек пересечения параболы $y = 5x^2 - 1$ и прямой $y - 2x = 2$, нужно решить систему этих двух уравнений.

1. Перепишем уравнение прямой в стандартном виде:

   $$y = 2x + 2$$

2. Теперь приравняем выражения для $y$ из обоих уравнений:

   $$5x^2 - 1 = 2x + 2$$

3. Преобразуем это уравнение, перенесем все члены на одну сторону:

   $$5x^2 - 2x - 3 = 0$$

4. Теперь решим полученное квадратное уравнение. Используем дискриминант:

   $$D = (-2)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-3) = 4 + 60 = 64$$

5. Корни уравнения находятся по формуле:

   $$x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 5} = \frac{2 \pm 8}{10}$$

6. Получаем два значения для $x$:

   $$x_1 = \frac{2 + 8}{10} = 1, \quad x_2 = \frac{2 - 8}{10} = -0.6$$

7. Теперь находим соответствующие значения $y$ для этих $x$. Подставим $x = 1$ в уравнение прямой $y = 2x + 2$:

   $$y_1 = 2(1) + 2 = 4$$

   Подставим $x = -0.6$ в уравнение прямой $y = 2x + 2$:

   $$y_2 = 2(-0.6) + 2 = 0.8$$

8. Таким образом, точки пересечения параболы и прямой имеют координаты:

   $$(1, 4) \quad \text{и} \quad (-0.6, 0.8)$$

Катеты этих точек — это их значения $x$ и $y$. То есть для точки $(1, 4)$ катеты равны 1 и 4, а для точки $(-0.6, 0.8)$ — катеты равны -0.6 и 0.8.