3t² - 3t + 1 = 0. Через дискриминант.

Чтобы решить квадратное уравнение $3t^2 - 3t + 1 = 0$ с помощью дискриминанта, нужно выполнить несколько шагов.

1. Записать уравнение в стандартной форме:
   Уравнение уже представлено в стандартной форме для квадратного уравнения $at^2 + bt + c = 0$, где:

   • $a = 3$

   • $b = -3$

   • $c = 1$

2. Вычислить дискриминант:
   Дискриминант $\Delta$ для уравнения $at^2 + bt + c = 0$ вычисляется по формуле:

   $$\Delta = b^2 - 4ac$$

   Подставим значения $a = 3$, $b = -3$, $c = 1$:

   $$\Delta = (-3)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 9 - 12 = -3$$

3. Проанализировать дискриминант:
   Дискриминант $\Delta = -3$ меньше нуля, что означает, что у уравнения нет действительных корней. Однако, уравнение может иметь комплексные корни.

4. Найти комплексные корни:
   Для уравнений с отрицательным дискриминантом корни вычисляются по формуле:

   $$t = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$$

   Поскольку дискриминант отрицателен, используем комплексное число $\sqrt{-\Delta} = \sqrt{3}i$, где $i$ — мнимая единица.

   Подставляем значения:

   $$t = \frac{-(-3) \pm \sqrt{-(-3)}}{2 \cdot 3} = \frac{3 \pm \sqrt{3}i}{6}$$

5. Записать корни:
   Таким образом, корни уравнения:

   $$t_1 = \frac{3 + \sqrt{3}i}{6}, \quad t_2 = \frac{3 - \sqrt{3}i}{6}$$

Ответ: Корни уравнения $3t^2 - 3t + 1 = 0$ комплексные и равны $t_1 = \frac{3 + \sqrt{3}i}{6}$ и $t_2 = \frac{3 - \sqrt{3}i}{6}$.