В треугольнике ABC угол C = 90°, высота CH = 7, BH = 24. Найдите cos A.

В треугольнике ABC, где угол C равен 90° и CH — высота, опущенная из вершины C на гипотенузу AB, а также известно, что BH = 24 и CH = 7, нужно найти значение косинуса угла A.

1. Обозначения и формулы:
   В прямоугольном треугольнике ABC угол C равен 90°, соответственно, гипотенуза AB является самым длинным катетом. Высота CH, опущенная на гипотенузу, делит её на два отрезка: BH и AH. Из условия задачи известно, что BH = 24, а CH = 7.

2. Используем теорему о площади:
   Площадь треугольника можно вычислить разными способами. Один из них — через основание и высоту. Площадь треугольника можно выразить как:

   $$S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AC$$

   Но также площадь можно вычислить через гипотенузу AB и высоту CH:

   $$S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH$$

   Площадь можно также выразить через два отрезка на гипотенузе:

   $$S = \frac{1}{2} \cdot BH \cdot CH + \frac{1}{2} \cdot AH \cdot CH$$

   Площадь из двух выражений равна, следовательно:

   $$\frac{1}{2} \cdot BC \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH$$

   Сравнивая две площади, мы получаем соотношения.