Как перемножать степени с разными показателями и основаниями? Например: (2^(1/5) * 5^(2/3))^15 и всё это поделить на 10^9.

Чтобы правильно перемножить степени с разными основаниями и показателями, а затем поделить на другую степень, нужно последовательно применить свойства степеней.

Давай разберем данный пример шаг за шагом:

1. У нас есть выражение: $(2^{1/5} \cdot 5^{2/3})^{15} \div 10^9$.

2. Прежде всего, воспользуемся свойством степеней: $(a^m \cdot b^n)^k = a^{m \cdot k} \cdot b^{n \cdot k}$. Применим это к нашему выражению:

   $$(2^{1/5} \cdot 5^{2/3})^{15} = 2^{(1/5) \cdot 15} \cdot 5^{(2/3) \cdot 15}$$

   Это даст:

   $$2^{3} \cdot 5^{10}$$

   Итак, у нас теперь выражение $2^3 \cdot 5^{10}$.

3. Теперь делим это на $10^9$. Заметим, что $10 = 2 \cdot 5$, и значит:

   $$10^9 = (2 \cdot 5)^9 = 2^9 \cdot 5^9$$

   Подставляем это в исходное выражение:

   $$\frac{2^3 \cdot 5^{10}}{2^9 \cdot 5^9}$$

4. Теперь применим свойства степеней для деления: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$. Для каждого основания отдельно:

   $$2^{3-9} \cdot 5^{10-9} = 2^{-6} \cdot 5^1$$

5. Таким образом, окончательное выражение будет:

   $$2^{-6} \cdot 5$$

Это и есть результат: $2^{-6} \cdot 5$.