Автомобиль, движущийся в начальный момент времени со скоростью \( v_0 = 18 \, \text{м/с} \) и тормозящий с постоянным ускорением \( a = 3 \, \text{м/с}^2 \), за \( t \) секунд после начала торможения проходит путь \( S = v_0 t - \frac{a t^2}{2} \). Определите (в секундах) наименьшее время, прошедшее от момента начала торможения, если известно, что за это время автомобиль проехал не менее 30 метров.

Давайте решим задачу шаг за шагом.

1. Уравнение пути:
   В условиях задачи дано уравнение для пути, который прошел автомобиль за время $t$:

   $$S(t) = v_0 t - \frac{a t^2}{2}$$

   где:

   • $v_0 = 18 \, \text{м/с}$ — начальная скорость автомобиля,

   • $a = 3 \, \text{м/с}^2$ — постоянное ускорение (отрицательное, так как торможение),

   • $t$ — время, за которое прошел путь.

2. Условие задачи:
   Нам нужно найти наименьшее время $t$, при котором путь $S(t)$ будет не менее 30 метров:

   $$S(t) \geq 30 \, \text{м}$$

   Подставим уравнение для пути:

   $$v_0 t - \frac{a t^2}{2} \geq 30$$

   Подставляем значения $v_0 = 18 \, \text{м/с}$ и $a = 3 \, \text{м/с}^2$:

   $$18 t - \frac{3 t^2}{2} \geq 30$$

3. Преобразуем неравенство:
   Умножим обе стороны неравенства на 2, чтобы избавиться от дроби:

   $$36 t - 3 t^2 \geq 60$$

   Переносим все в одну сторону:

   $$3 t^2 - 36 t + 60 \leq 0$$

   Упростим:

   $$t^2 - 12 t + 20 \leq 0$$

4. Решаем квадратное неравенство:
   Решим соответствующее квадратное уравнение:

   $$t^2 - 12 t + 20 = 0$$

   Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

   $$t = \frac{-(-12) \pm \sqrt{(-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 20}}{2 \cdot 1}$$ $$t = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 80}}{2}$$ $$t = \frac{12 \pm \sqrt{64}}{2}$$ $$t = \frac{12 \pm 8}{2}$$

   Таким образом, получаем два корня:

   $$t_1 = \frac{12 + 8}{2} = 10 \, \text{с}$$ $$t_2 = \frac{12 - 8}{2} = 2 \, \text{с}$$

5. Проверка интервала:
   Поскольку $t^2 - 12 t + 20 \leq 0$, значения $t$ должны лежать в интервале от 2 до 10 секунд включительно.

6. Ответ:
   Наименьшее время, которое прошло от начала торможения, если автомобиль проехал не менее 30 метров, равно $t = 2 \, \text{с}$.