Найти длину катета прямоугольного треугольника при площади \(722\sqrt{3}\) и остром угле тридцать градусов.

Для нахождения длины катета прямоугольного треугольника, нам нужно использовать данные о площади и угле.

Площадь прямоугольного треугольника можно выразить через длины его катетов:

где $a$ и $b$ — длины катетов. В данном случае площадь $S = 722\sqrt{3}$, поэтому получаем:

или

Также, нам известен острый угол треугольника $\alpha = 30^\circ$. В прямоугольном треугольнике с углом 30 градусов можно использовать тригонометрические соотношения:

Предположим, что $a$ — это катет, прилежащий к углу $30^\circ$, а $b$ — катет, противоположный этому углу. Тогда:

Таким образом, можем выразить $b$ через $a$:

Теперь подставим это в уравнение для площади:

или

Умножим обе стороны на $\sqrt{3}$:

Теперь найдём $a$:

Таким образом, длина катета $a$ составляет примерно $65.8$ единиц.