Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах AB (3; 0; -4) и AD (0, 5, 0).

Площадь параллелограмма, построенного на векторах AB и AD, можно найти с помощью векторного произведения этих векторов. Площадь параллелограмма равна величине векторного произведения.

Пусть вектор AB = (3, 0, -4), а вектор AD = (0, 5, 0).

Векторное произведение двух векторов в 3D пространстве можно вычислить по формуле:

Где $\mathbf{i}$, $\mathbf{j}$ и $\mathbf{k}$ — это единичные векторы вдоль осей X, Y и Z соответственно. Для вычисления детерминанта, раскроем его по первой строке:

Вычисляем детерминанты 2x2:

• Для $\mathbf{i}$: $\left| \begin{matrix} 0 & -4 \\ 5 & 0 \end{matrix} \right| = (0 \times 0) - (-4 \times 5) = 20$

• Для $\mathbf{j}$: $\left| \begin{matrix} 3 & -4 \\ 0 & 0 \end{matrix} \right| = (3 \times 0) - (-4 \times 0) = 0$

• Для $\mathbf{k}$: $\left| \begin{matrix} 3 & 0 \\ 0 & 5 \end{matrix} \right| = (3 \times 5) - (0 \times 0) = 15$

Теперь подставляем результаты:

Таким образом, векторное произведение равно:

Чтобы найти площадь параллелограмма, вычисляем длину этого вектора. Длина вектора $(x, y, z)$ вычисляется по формуле:

Подставляем значения:

Ответ: Площадь параллелограмма, построенного на векторах AB и AD, равна 25.