найдите угол между диагоналями параллелограмма построенного на векторах a=2i+j и b=-j+2k

Для нахождения угла между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах $\mathbf{a} = 2\mathbf{i} + \mathbf{j}$ и $\mathbf{b} = -\mathbf{j} + 2\mathbf{k}$, нужно выполнить несколько шагов.

1. Выражение диагоналей через векторы

Диагонали параллелограмма, построенного на векторах $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$, можно выразить следующим образом:

• Одна диагональ — это сумма векторов $\mathbf{a} + \mathbf{b}$.
• Другая диагональ — это разность векторов $\mathbf{a} - \mathbf{b}$.

Таким образом, диагонали:

и

2. Нахождение угла между диагоналями

Угол $\theta$ между двумя векторами можно найти с помощью формулы скалярного произведения:

где $\mathbf{d_1} \cdot \mathbf{d_2}$ — скалярное произведение векторов $\mathbf{d_1}$ и $\mathbf{d_2}$, а $|\mathbf{d_1}|$ и $|\mathbf{d_2}|$ — их длины.

3. Скалярное произведение $\mathbf{d_1} \cdot \mathbf{d_2}$

Вычислим скалярное произведение:

Используем свойство скалярного произведения:

Тогда:

4. Длины векторов $|\mathbf{d_1}|$ и $|\mathbf{d_2}|$

Теперь вычислим длины векторов $\mathbf{d_1}$ и $\mathbf{d_2}$.

Для $\mathbf{d_1} = 2\mathbf{i} + 2\mathbf{k}$:

Для $\mathbf{d_2} = 2\mathbf{i} + 2\mathbf{j} - 2\mathbf{k}$: