Известно, что f(x)=log2 (8x-1). Решите уравнение : f(x)=f(x/2+5)

Чтобы решить уравнение $f(x) = f\left(\frac{x}{2} + 5\right)$, где $f(x) = \log_2(8x - 1)$, давайте шаг за шагом разберёмся, как это сделать.

1. Запишем оба выражения для функции $f(x)$:

   $$\log_2(8x - 1) = \log_2\left(8\left(\frac{x}{2} + 5\right) - 1\right)$$

2. Упростим правую часть:

   $$8\left(\frac{x}{2} + 5\right) = 4x + 40$$

   Таким образом, правое выражение становится:

   $$\log_2(4x + 40 - 1) = \log_2(4x + 39)$$

3. Теперь у нас есть уравнение:

   $$\log_2(8x - 1) = \log_2(4x + 39)$$

4. Для того чтобы уравнение было выполнено, аргументы логарифмов должны быть равны, так как логарифм по основанию 2 является функцией, которая принимает одинаковые значения только для одинаковых аргументов. Таким образом, получаем:

   $$8x - 1 = 4x + 39$$

5. Решим это линейное уравнение:

   $$8x - 4x = 39 + 1$$ $$4x = 40$$ $$x = 10$$

6. Проверим, что решение $x = 10$ подходит. Подставим его в исходные выражения для $f(x)$:

   $$f(10) = \log_2(8 \times 10 - 1) = \log_2(80 - 1) = \log_2(79)$$

   и

   $$f\left(\frac{10}{2} + 5\right) = f(10) = \log_2(8 \times 10 - 1) = \log_2(79)$$

   Оба значения одинаковы, значит решение верно.

Ответ: $x = 10$.