Решите неравенство (1/2)log₂(x²-1) > 1.

Для решения неравенства $\frac{1}{2} \log_2(x^2 - 1) > 1$, давайте разберемся поэтапно.

1. Избавимся от коэффициента $\frac{1}{2}$:

   Умножим обе части неравенства на 2, чтобы избавиться от коэффициента $\frac{1}{2}$:

   $$\log_2(x^2 - 1) > 2$$

2. Применим определение логарифма:

   Логарифм по основанию 2 выражается как обратная степень: $\log_2(y) = z \iff y = 2^z$. Применим это к нашему неравенству:

   $$x^2 - 1 > 2^2$$ $$x^2 - 1 > 4$$

3. Решим полученное неравенство:

   Добавим 1 к обеим частям:

   $$x^2 > 5$$

4. Извлечем корень из обеих частей неравенства:

   Для неравенства $x^2 > 5$ извлекаем корень из обеих сторон. Помним, что при извлечении квадратного корня из обеих сторон неравенства, нужно учитывать два возможных случая:

   $$x > \sqrt{5} \quad \text{или} \quad x < -\sqrt{5}$$

   То есть, $x$ должно быть либо больше $\sqrt{5}$, либо меньше $-\sqrt{5}$.

5. Проверим область определения:

   Логарифм $\log_2(x^2 - 1)$ существует только тогда, когда $x^2 - 1 > 0$, то есть $x^2 > 1$, что даёт $x > 1$ или $x < -1$. Это ограничивает решение, потому что $x$ не может быть между $-1$ и $1$.

6. Окончательное решение:

   Таким образом, из предыдущих шагов мы получаем два условия:

   • $x > \sqrt{5}$

   • $x < -\sqrt{5}$

   С учётом ограничения $x > 1$ или $x < -1$, окончательное решение неравенства:

   $$x > \sqrt{5} \quad \text{или} \quad x < -\sqrt{5}$$

   Это решение записывается в виде интервалов:

   $$(-\infty, -\sqrt{5}) \cup (\sqrt{5}, \infty)$$