Log2(x-5)+log2(x+2)=3

Для решения уравнения $\log_2(x-5) + \log_2(x+2) = 3$, используем свойства логарифмов.

1. Применим свойство логарифмов:

Сумма логарифмов с одинаковым основанием равна логарифму произведения аргументов:

Тогда уравнение становится:

2. Перепишем уравнение в экспоненциальной форме:

Переход от логарифма к экспоненциальному выражению:

Так как $2^3 = 8$, уравнение становится:

3. Раскроем скобки:

Упростим выражение:

4. Переносим все в одну сторону:

5. Решим квадратное уравнение:

Для решения уравнения $x^2 - 3x - 18 = 0$ используем дискриминант. Формула для дискриминанта:

Здесь $a = 1$, $b = -3$, $c = -18$. Подставляем в формулу:

Так как дискриминант положительный, у уравнения два корня. Находим корни с помощью формулы:

Подставляем значения:

Таким образом, получаем два корня:

6. Проверим найденные корни:

Так как логарифм определен только для положительных значений своих аргументов, нужно проверить, что оба корня удовлетворяют этим условиям.

• Для $x_1 = 6$: $x-5 = 6-5 = 1$, $x+2 = 6+2 = 8$, оба аргумента положительные, значит, этот корень подходит.

• Для $x_2 = -3$: $x-5 = -3-5 = -8$, $x+2 = -3+2 = -1$, оба аргумента отрицательные, значит, этот корень не подходит.

Итак, единственный подходящий корень — $x = 6$.

Ответ: $x = 6$.