Log2(x-2)+log2(x-3)=1 решить уравнение

Чтобы решить уравнение $\log_2(x-2) + \log_2(x-3) = 1$, воспользуемся свойствами логарифмов.

Шаг 1: Применим свойство логарифмов

Мы знаем, что $\log_b(a) + \log_b(c) = \log_b(a \cdot c)$. Используя это, можно объединить два логарифма:

Таким образом, уравнение примет вид:

Шаг 2: Переведем логарифм в экспоненциальную форму

Логарифм $\log_2(a) = b$ можно переписать как $a = 2^b$. В нашем случае:

Шаг 3: Раскроем скобки

Теперь раскроем скобки в левой части:

Подставим это в уравнение:

Шаг 4: Преобразуем уравнение

Переносим 2 в левую часть:

Упростим:

Шаг 5: Решим квадратное уравнение

Теперь решим квадратное уравнение. Можно воспользоваться формулой для решения квадратных уравнений:

Для уравнения $x^2 - 5x + 4 = 0$, где $a = 1$, $b = -5$, и $c = 4$, подставляем значения:

Таким образом, получаем два возможных значения для $x$:

или

Шаг 6: Проверим полученные корни

Проверим, подходят ли эти значения для исходного логарифмического уравнения. Логарифм определен только для положительных чисел, то есть $x - 2 > 0$ и $x - 3 > 0$. Это означает, что $x > 3$.

• Для $x = 4$: $x - 2 = 2$ и $x - 3 = 1$, оба выражения положительные, решение подходит.

• Для $x = 1$: $x - 2 = -1$