Решите неравенство log₂/₃(2-5x) < -2

Ответы на вопрос

Отвечает Смирнова Наталья.

Для того чтобы решить неравенство $\log_{\frac{2}{3}}(2 - 5x) < -2$ , нужно выполнить несколько шагов.

Шаг 1: Понять форму неравенства

Неравенство содержит логарифм с основанием $\frac{2}{3}$ , которое меньше 1. Это важно, потому что логарифмическая функция с таким основанием убывает: если $y = \log_a(x)$ , где $0 < a < 1$ , то чем больше $x$ , тем меньше значение логарифма.

Шаг 2: Преобразуем логарифмическое неравенство

Запишем неравенство в экспоненциальной форме. Напоминаю, что $\log_a(b) = c$ эквивалентно $a^c = b$ . В нашем случае $a = \frac{2}{3}$ , $c = -2$ , а $b = 2 - 5x$ .

Получаем:

\left( \frac{2}{3} \right)^{-2} = 2 - 5x

Теперь вычислим $\left( \frac{2}{3} \right)^{-2}$ :

\left( \frac{2}{3} \right)^{-2} = \frac{1}{\left( \frac{2}{3} \right)^2} = \frac{1}{\frac{4}{9}} = \frac{9}{4}

Таким образом, у нас получается:

\frac{9}{4} = 2 - 5x

Шаг 3: Решим линейное уравнение

Теперь решим уравнение:

\frac{9}{4} = 2 - 5x

Переносим все в одну сторону:

2 - 5x = \frac{9}{4}

Для того чтобы избавиться от дробей, умножим обе части на 4:

4 \times (2 - 5x) = 4 \times \frac{9}{4}

Получаем:

8 - 20x = 9

Решаем для $x$ :

8 - 9 = 20x \quad \Rightarrow \quad -1 = 20x \quad \Rightarrow \quad x = \frac{-1}{20}

Шаг 4: Учет области определения логарифма

Необходимо помнить, что логарифм определен только для положительных значений аргумента, то есть:

2 - 5x > 0

Решим это неравенство:

2 > 5x \quad \Rightarrow \quad x < \frac{2}{5}

Таким образом, область определения логарифма — это $x < \frac{2}{5}$ .

Шаг 5: Ищем решение неравенства

Мы нашли, что при $x = \frac{-1}{20}$ выражение $2 - 5x$ будет равно $\frac{9}{4}$ , и логарифм будет равен $-2$ .

Однако, так как логарифмическая функция убывает для $\frac{2}{3}$ как основание, то для $\log_{\frac{2}{3}}(2 - 5x) < -2$ значение $2 - 5x$ должно быть больше $\frac{9}{4}$ , то есть:

2 - 5x > \frac{9}{4}