Решите уравнение cos(x/2 + π/4) + 1 = 0

Для решения уравнения $\cos\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}\right) + 1 = 0$, сначала преобразуем его.

1. Переносим 1 в правую часть уравнения:

   $$\cos\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}\right) = -1$$

2. Теперь нужно вспомнить, что косинус принимает значение -1, когда аргумент функции равен нечётному числу $\pi$. То есть:

   $$\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} = \pi + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$$

   где $k$ — целое число.

3. Из этого уравнения найдём $x$. Для этого вычитаем $\frac{\pi}{4}$ с обеих сторон:

   $$\frac{x}{2} = \pi + 2k\pi - \frac{\pi}{4}$$

4. Приводим выражение к общему знаменателю:

   $$\frac{x}{2} = \frac{4\pi}{4} + \frac{8k\pi}{4} - \frac{\pi}{4}$$ $$\frac{x}{2} = \frac{3\pi}{4} + \frac{8k\pi}{4}$$

5. Умножаем обе стороны на 2, чтобы выразить $x$:

   $$x = 2 \left( \frac{3\pi}{4} + \frac{8k\pi}{4} \right)$$ $$x = \frac{6\pi}{4} + \frac{16k\pi}{4}$$ $$x = \frac{3\pi}{2} + 4k\pi$$

Итак, общее решение уравнения: