На день рождения к Паше пришли две Маши и два Саши. Все пятеро расселись за круглым столом. Найдите вероятность того, что Паша сидит между двумя тезками.

Задача заключается в нахождении вероятности того, что Паша сидит между двумя тезками — двумя Машами или двумя Сашами.

1. Общее количество способов рассаживания участников.
   Всего у нас есть 5 человек: Паша, две Маши и два Саши. Круглый стол подразумевает, что расположение людей относительно друг друга не важно, то есть две перестановки одного и того же набора людей, отличающиеся только поворотом стола, считаются одинаковыми. Таким образом, для рассаживания 5 человек за круглый стол количество возможных способов равно (5 - 1)!, то есть 4! = 24 способа.

2. Способы, при которых Паша сидит между двумя тезками.
   Предположим, что Паша сидит между двумя Машами или двумя Сашами. Сначала рассаживаем двух Маш или двух Саш, а потом вставляем Пашу между ними. Рассмотрим случаи поочередно:

   • Случай 1: Паша сидит между двумя Машами.
     Мы можем выбрать, кто из Маш будет с одной стороны Паши, а кто — с другой. В этом случае у нас два варианта, поскольку можно поменять местами Маш. Остальных двух человек (Сашу и второго Сашу) можно рассадить на оставшиеся два места. Количество способов рассаживания двух Сашей — это 2!, то есть 2 способа.
     Следовательно, в случае, когда Паша сидит между Машами, количество способов рассаживания — 2 * 2! = 4 способа.

   • Случай 2: Паша сидит между двумя Сашами.
     Аналогично, мы можем выбрать, кто из Саш будет с одной стороны Паши, а кто — с другой. Это также дает 2 варианта. Затем, оставшиеся два человека (Маши) можно рассадить на оставшиеся два места, что также даёт 2! = 2 способа.
     Таким образом, в случае, когда Паша сидит между Сашами, количество способов рассаживания — 2 * 2! = 4 способа.

3. Общее количество способов, когда Паша сидит между двумя тезками.
   Суммируем количество способов для двух случаев: 4 способа для Маш и 4 способа для Саш. Итого, 4 + 4 = 8 способов.

4. Вероятность того, что Паша сидит между двумя тезками.
   Вероятность — это отношение количества благоприятных исходов к общему количеству исходов. В нашем случае благоприятных исходов 8, а общее количество исходов — 24. Следовательно, вероятность того, что Паша сидит между двумя тезками, равна:

   $$\frac{8}{24} = \frac{1}{3}$$

Таким образом, вероятность того, что Паша сидит между двумя тезками, составляет 1/3.