Най­ди­те мень­ший угол рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции ABCD, если диа­го­наль AC об­ра­зу­ет с ос­но­ва­ни­ем BC и бо­ко­вой сто­ро­ной CD углы, рав­ные 30° и 105° со­от­вет­ствен­но.

Для того чтобы найти меньший угол равнобедренной трапеции ABCD, начнем с анализа данных углов и использования геометрии трапеции.

1. Обозначим углы в трапеции. Пусть основание BC — это $b$, а боковая сторона CD — это $a$. Диагональ AC образует угол 30° с основанием BC и угол 105° с боковой стороной CD.

2. В равнобедренной трапеции углы при основании равны между собой, то есть углы при вершинах B и C одинаковы. Углы, которые образуют диагонали с основанием и боковой стороной, также связаны с углами трапеции.

3. Угол, образованный диагональю AC с основанием BC, равен 30°, и это угол при вершине B. То есть угол $\angle ABC = 30^\circ$.

4. Угол, образованный диагональю AC с боковой стороной CD, равен 105°, и это угол при вершине C. То есть угол $\angle BCD = 105^\circ$.

5. Теперь, используя тот факт, что сумма углов в трапеции на одной стороне (например, $\angle ABC$ и $\angle BCD$) равна 180° (поскольку они находятся на одной прямой), можем найти углы $\angle DAB$ и $\angle CDA$. Эти углы должны быть дополнением к 180° с учетом углов на одной прямой.

6. Углы при основаниях в равнобедренной трапеции всегда равны, следовательно, меньший угол будет угол $\angle ABC = 30^\circ$.

Таким образом, меньший угол трапеции составляет 30°.