В пря­мо­уголь­ни­ке диа­го­наль равна 42, а угол между ней и одной из сто­рон равен 30 градусов . Най­ди­те пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка.

Для решения задачи, давайте разберемся с данными и применим геометрические соображения.

Итак, у нас есть прямоугольник, в котором:

• Диагональ равна 42.
• Угол между диагональю и одной из сторон прямоугольника равен 30 градусов.

Пусть стороны прямоугольника обозначены как $a$ и $b$, а диагональ — $d$. Известно, что диагональ прямоугольника можно выразить через стороны с помощью теоремы Пифагора:

У нас дана диагональ $d = 42$, то есть:

Теперь, угол между диагональю и одной из сторон прямоугольника равен 30°. Это означает, что если мы возьмем сторону $a$, то угол между диагональю и этой стороной будет 30°.

Используем тригонометрию. С учетом угла 30°, можно найти отношение между стороной $a$ и диагональю $d$. Мы знаем, что косинус угла 30° равен $\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, и это отношение можно записать как:

Подставим известное значение диагонали $d = 42$:

Теперь выразим $a$:

Теперь, зная сторону $a = 21\sqrt{3}$, подставим это значение в уравнение (1), которое мы получили из теоремы Пифагора:

Теперь у нас есть обе стороны прямоугольника: $a = 21\sqrt{3}$ и $b = 21$.

Площадь прямоугольника вычисляется по формуле:

Таким образом, площадь прямоугольника равна $441\sqrt{3}$ квадратных единиц. Это приближенно равно 764,98 квадратных единиц, если подставить значение $\sqrt{3} \approx 1.732$.