Число называется симметричным, если оно одинаково читается справа налево и слева направо. Например, числа 11 и 252 симметричные. Сколько существует симметричных чисел от 10 до 2016?

Для того чтобы найти количество симметричных чисел в диапазоне от 10 до 2016, нужно рассмотреть числа с разной количеством цифр.

1. Двухзначные симметричные числа:
   Симметричное двухзначное число будет иметь вид $\overline{ab}$, где $a = b$, то есть, оба числа одинаковы. В таком случае число будет представлять собой 11, 22, 33 и так далее до 99. Всего таких чисел 9: 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99.

2. Трехзначные симметричные числа:
   Симметричное трехзначное число будет выглядеть как $\overline{aba}$, где первая и последняя цифры одинаковы. Например, 101, 111, 121 и так далее. Первая цифра (a) может быть любым числом от 1 до 9, а вторая цифра (b) — любым числом от 0 до 9. Таким образом, для трехзначных чисел количество симметричных чисел равно $9 \times 10 = 90$.

3. Четырехзначные симметричные числа:
   Четырехзначное симметричное число будет иметь вид $\overline{abba}$, где первая и последняя цифры одинаковы, а вторая и третья цифры также одинаковы. Первая цифра (a) может быть от 1 до 9, а вторая цифра (b) может быть от 0 до 9. Всего таких чисел будет $9 \times 10 = 90$.

4. Числа от 1000 до 2016:
   Из четырехзначных чисел нас интересуют только те, которые меньше или равны 2016. Это будут числа вида $\overline{1bb1}$, где первая цифра 1, а b — цифры от 0 до 9. Эти числа будут в диапазоне от 1001 до 1991 включительно, так как числа от 2000 до 2016 не могут быть симметричными (например, число 2002 — это симметричное, но 2016 — нет). Таким образом, такие числа: 1001, 1111, 1221, ..., 1991. Это дает 10 чисел.

Теперь суммируем все симметричные числа:

• 9 двухзначных чисел,

• 90 трехзначных чисел,

• 10 четырехзначных чисел.

Итого: $9 + 90 + 10 = 109$.

Ответ: существует 109 симметричных чисел от 10 до 2016.