Большая боковая сторона прямоугольной трапеции равна 26 см, а меньшее основание — 20 см. Найдите площадь трапеции, если тангенс острого угла при основании равен 12/5.

Для нахождения площади трапеции, сначала воспользуемся данными о её сторонах и углах.

Итак, у нас есть прямоугольная трапеция, в которой:

• Большая боковая сторона (перпендикулярная к основаниям) равна 26 см,

• Меньшее основание равно 20 см,

• Тангенс острого угла при основании равен $\frac{12}{5}$.

Шаг 1: Нахождение высоты трапеции

Тангенс острого угла при основании прямоугольной трапеции — это отношение высоты к разности длин оснований. Обозначим высоту трапеции через $h$, а разницу длин оснований через $\Delta b = b_1 - b_2$, где $b_1$ — большее основание, а $b_2$ — меньшее основание.

Из условия тангенса острого угла имеем:

Зная, что $\tan(\theta) = \frac{12}{5}$, получаем:

Шаг 2: Определение разности оснований

Сначала найдем разницу между основаниями. Нам известно, что большая боковая сторона трапеции (равная 26 см) и угол при основании образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике одна из сторон — это высота трапеции $h$, а другая сторона — разница между основаниями $\Delta b = b_1 - b_2$.

Используя теорему Пифагора для этого прямоугольного треугольника:

Теперь из формулы тангенса, получаем:

Подставим это в уравнение Пифагора:

Умножим обе стороны на 25:

Шаг 3: Нахождение высоты

Теперь, зная $\Delta b = 10$ см, подставим это значение в формулу для $h$:

Шаг 4: Нахождение большего основания

Теперь, зная разницу между основаниями $\Delta b = 10$ см и меньшее основание $b_2 = 20$ см, можно найти большее основание $b_1$:

Шаг 5: Нахождение площади трапеции

Площадь трапеции вычисляется по формуле:

Подставляем известные значения:

Ответ: площадь трапеции равна 600 см².