Найдите меньшее основание равнобедренной трапеции, если её большее основание равно 32 см, боковая сторона — 20 см, а один из углов равен 60 градусов.

Для того чтобы найти меньшее основание равнобедренной трапеции, воспользуемся геометрическими свойствами трапеции и теоремой косинусов.

Пусть $AB$ — большее основание трапеции, $CD$ — меньшее основание, и $AD = BC = 20$ см — боковые стороны трапеции. Также известно, что угол $\angle DAB = 60^\circ$.

Шаг 1: Разбиение трапеции на прямоугольный треугольник

Проведем перпендикуляр из вершины $D$ на основание $AB$. Пусть точка пересечения будет обозначаться как $P$, и она разделяет основание $AB$ на две части. Известно, что углы при основании трапеции равны (поскольку трапеция равнобедренная), и угол $\angle DAB = 60^\circ$. Таким образом, треугольник $DAB$ является прямоугольным, и мы можем использовать свойства тригонометрии для нахождения длины отрезка $AP$.

Шаг 2: Нахождение длины отрезка $AP$

В прямоугольном треугольнике $DAP$, угол $\angle DAB = 60^\circ$, гипотенуза $AD = 20$ см. Используем косинус угла для нахождения длины отрезка $AP$:

Поскольку $\cos(60^\circ) = 0.5$, то:

Отсюда:

Шаг 3: Нахождение длины меньшего основания

Так как перпендикуляр из точки $D$ делит основание $AB$ на два равных отрезка, то длина второго отрезка $BP$ будет также равна 10 см.

Теперь, зная, что общее основание $AB$ равно 32 см, можно найти длину меньшего основания $CD$. Оно будет равно:

Таким образом, меньшее основание трапеции равно 12 см.