Периметр прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равен 32, её большая боковая сторона равна 9. Найдите радиус окружности.

Рассмотрим задачу. У нас есть прямоугольная трапеция, описанная около окружности. Это означает, что окружность касается всех сторон трапеции. Напомню, что в такой трапеции сумма длин противоположных сторон равна между собой. Рассмотрим обозначения:

• Пусть трапеция ABCD, где $AB$ — большая база, $CD$ — малая база, $AD$ и $BC$ — боковые стороны.

• Дано, что периметр трапеции равен 32, а большая боковая сторона равна 9.

• Пусть радиус окружности равен $r$.

По свойствам трапеции, описанной около окружности, сумма длин её боковых сторон равна сумме длин её баз. То есть:

Обозначим большие и маленькие базы через $AB = a$, $CD = b$, боковые стороны $AD = x$, $BC = 9$. Из условия задачи получаем:

Также известно, что периметр трапеции равен 32, то есть:

Теперь подставим выражение $a + b = x + 9$ в уравнение периметра:

Упростим:

Отсюда находим:

Таким образом, длина боковой стороны $AD = x = 7$.

Теперь, используя формулу для периметра, мы знаем, что $a + b = x + 9 = 7 + 9 = 16$. То есть, сумма длин баз $a$ и $b$ равна 16.

Так как трапеция описана около окружности, то её стороны можно связать с радиусом окружности через формулу для периметра трапеции, описанной около окружности:

Таким образом, периметр $P = 32$ соответствует $2s = 2 \times 16$, что совпадает с данным условием задачи. Теперь, чтобы найти радиус $r$, используем известное, что радиус окружности трапеции выражается через её площадь $S$ и полупериметр $p$ (где $p = \frac{P}{2}$) по формуле:

Так как площадь трапеции можно вычислить по формуле:

где $h$ — высота трапеции.