В равнобедренной трапеции один из углов равен 60°, боковая сторона равна 8 см, а меньшее основание 7см. Найдите среднюю линию трапеции

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований. Чтобы найти среднюю линию, нужно знать длины обоих оснований. Одно из оснований дано (меньшее основание равно 7 см), а для большего основания придется провести расчет, основываясь на данных о трапеции.

Дано:

• Один из углов трапеции равен $60^\circ$,
• Боковая сторона равна $8 \, \text{см}$,
• Меньшее основание равно $7 \, \text{см}$.

Решение:

1. Расположение элементов трапеции: Рассмотрим равнобедренную трапецию $ABCD$, где $AB$ и $CD$ – основания ($AB < CD$), $AD = BC = 8 \, \text{см}$ – боковые стороны. Пусть угол $\angle DAB = 60^\circ$.

2. Высота трапеции: Высота – это перпендикуляр, опущенный из вершины $A$ или $B$ на основание $CD$. Пусть высота $h$ опускается из точки $A$ на $CD$, пересекая его в точке $H$. Высота делит трапецию на прямоугольный треугольник $ADH$, в котором:

   $$h = AD \cdot \sin(60^\circ).$$

   Подставляем значение:

   $$h = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3} \, \text{см}.$$

3. Проекция боковой стороны на основание: Горизонтальная проекция $AH$ боковой стороны $AD$ равна:

   $$AH = AD \cdot \cos(60^\circ).$$

   Подставляем значение:

   $$AH = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4 \, \text{см}.$$

4. Длина большего основания: Большая часть основания $CD$ включает в себя меньшее основание $AB$ и две проекции боковых сторон $AH$ и $BK$. Таким образом:

   $$CD = AB + 2 \cdot AH.$$

   Подставляем известные значения:

   $$CD = 7 + 2 \cdot 4 = 15 \, \text{см}.$$

5. Средняя линия трапеции: Средняя линия трапеции рассчитывается по формуле:

   $$\text{Средняя линия} = \frac{AB + CD}{2}.$$

   Подставляем значения:

   $$\text{Средняя линия} = \frac{7 + 15}{2} = 11 \, \text{см}.$$

Ответ:

Средняя линия трапеции равна 11 см.