В прямоугольной трапеции с периметром 40 вписана окружность. Большая боковая сторона трапеции равна 11. Найдите радиус окружности.

Для решения задачи нужно использовать свойства прямоугольной трапеции с вписанной окружностью.

1. В прямоугольной трапеции с вписанной окружностью сумма длин противоположных сторон равна сумме длин боковых сторон. Это важное свойство, которое позволяет найти недостающие данные.

Пусть:

• $a$ — длина большой основы трапеции,

• $b$ — длина малой основы трапеции,

• $c$ и $d$ — длины боковых сторон трапеции, причем $c = d = 11$ (большие боковые стороны равны 11).

Из условия задачи известно, что периметр трапеции равен 40. Периметр прямоугольной трапеции вычисляется как сумма всех её сторон:

Подставляем значение боковых сторон:

Упрощаем:

Таким образом, сумма длин оснований $a + b = 18$.

2. Теперь, чтобы найти радиус вписанной окружности, используем формулу для радиуса окружности в трапеции. Радиус окружности $r$ в трапеции с вписанной окружностью можно выразить через её периметр и полупериметр. Формула для радиуса выглядит так:

где $S$ — площадь трапеции, а $p$ — полупериметр.

Полупериметр трапеции:

3. Площадь трапеции $S$ можно вычислить через её основания и высоту $h$. Высота $h$ равна радиусу окружности $r$, так как окружность вписана в трапецию, и её касания происходят по боковым сторонам и основаниям. Таким образом, площадь трапеции можно выразить как:

Подставляем $a + b = 18$:

4. Теперь подставим выражение для площади в формулу для радиуса:

Умножаем обе стороны на 20:

Ответ: радиус вписанной окружности равен 2.