Найдите наименьшее значение функции y=4x-4ln(x+7)+6 на отрезке [-6,5; 0].

Для того чтобы найти наименьшее значение функции $y = 4x - 4\ln(x+7) + 6$ на отрезке $[-6, 5; 0]$, нужно выполнить несколько шагов.

1. Проверка области определения функции:
   Функция содержит логарифм, и логарифм определен только для положительных аргументов. Это значит, что $x + 7 > 0$, то есть $x > -7$. Поскольку отрезок $[-6, 0]$ лежит внутри области определения, можно продолжать расчет.

2. Нахождение производной функции:
   Чтобы найти точки экстремума функции, необходимо найти первую производную функции:

   $$y'(x) = \frac{d}{dx} \left( 4x - 4\ln(x+7) + 6 \right)$$

   Производная от $4x$ равна 4, от $-4\ln(x+7)$ — $\frac{-4}{x+7}$, и от константы 6 производная равна 0. Таким образом, первая производная:

   $$y'(x) = 4 - \frac{4}{x+7}$$

3. Нахождение критических точек:
   Для нахождения критических точек приравняем первую производную к нулю:

   $$4 - \frac{4}{x+7} = 0$$

   Переносим $\frac{4}{x+7}$ на другую сторону:

   $$\frac{4}{x+7} = 4$$

   Разделим обе стороны на 4:

   $$\frac{1}{x+7} = 1$$

   Из этого выражения получаем:

   $$x + 7 = 1 \quad \Rightarrow \quad x = -6$$

   Таким образом, критическая точка — это $x = -6$.

4. Анализ на отрезке $[-6, 0]$:
   Проверим, какое значение функции будет на концах отрезка и в найденной критической точке.

   • Для $x = -6$:

     $$y(-6) = 4(-6) - 4\ln(-6+7) + 6 = -24 - 4\ln(1) + 6 = -24 + 6 = -18$$

     Так как $\ln(1) = 0$, получаем $y(-6) = -18$.

   • Для $x = 0$:

     $$y(0) = 4(0) - 4\ln(0+7) + 6 = 0 - 4\ln(7) + 6$$

     $\ln(7) \approx 1.9459$, поэтому:

     $$y(0) = 0 - 4(1.9459) + 6 = -7.7836 + 6 \approx -1.7836$$

5. Вывод:
   Значение функции в точке $x = -6$ равно $-18$, а в точке $x = 0$ примерно равно $-1.7836$. Таким образом, наименьшее значение функции на отрезке $[-6, 0]$ достигается в точке $x = -6$, и оно равно $-18$.

Ответ: наименьшее значение функции на отрезке $[-6, 0]$ равно $-18$.