Как решить sin(2x-π/4)=-1/2

Чтобы решить уравнение $\sin(2x - \frac{\pi}{4}) = -\frac{1}{2}$, нужно выполнить несколько шагов.

1. Решение основного уравнения для синуса:

   Мы знаем, что синус принимает значение $-\frac{1}{2}$ при углах:

   $$\theta = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{или} \quad \theta = \frac{11\pi}{6} + 2k\pi,$$

   где $k$ — целое число, которое учитывает все возможные значения углов, так как синус периодичен с периодом $2\pi$.

2. Применение этих значений к уравнению:

   Подставляем аргумент синуса $2x - \frac{\pi}{4}$ в уравнение:

   $$2x - \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{или} \quad 2x - \frac{\pi}{4} = \frac{11\pi}{6} + 2k\pi.$$

3. Решение для $x$:

   Рассмотрим первое уравнение:

   $$2x - \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi.$$

   Переносим $\frac{\pi}{4}$ на правую сторону:

   $$2x = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi + \frac{\pi}{4}.$$

   Приводим к общему знаменателю:

   $$2x = \frac{7\pi}{6} + \frac{\pi}{4} + 2k\pi = \frac{14\pi}{12} + \frac{3\pi}{12} + 2k\pi = \frac{17\pi}{12} + 2k\pi.$$

   Теперь делим обе части на 2:

   $$x = \frac{17\pi}{24} + k\pi.$$

   Для второго уравнения:

   $$2x - \frac{\pi}{4} = \frac{11\pi}{6} + 2k\pi,$$

   аналогично:

   $$2x = \frac{11\pi}{6} + 2k\pi + \frac{\pi}{4} = \frac{22\pi}{12} + \frac{3\pi}{12} + 2k\pi = \frac{25\pi}{12} + 2k\pi.$$

   Деля на 2:

   $$x = \frac{25\pi}{24} + k\pi.$$

4. Ответ:

   Таким образом, общее решение уравнения $\sin(2x - \frac{\pi}{4}) = -\frac{1}{2}$ будет следующим:

   $$x = \frac{17\pi}{24} + k\pi \quad \text{или} \quad x = \frac{25\pi}{24} + k\pi,$$

   где $k$ — целое число.