Мальвина пригласила гостей на свой день рождения и приготовила для них 5 видов пирожных. Каждому гостю досталось по 3 пирожных, причём у всех разные наборы пирожных. Однако Пьеро заметил, что если бы пришёл ещё один гость, то у кого-то обязательно оказались бы одинаковые наборы пирожных. Сколько гостей было у Мальвины?

Для решения задачи нужно понять, сколько уникальных наборов пирожных можно составить, если всего 5 видов пирожных, и каждый гость получает 3 пирожных, причём все наборы у гостей разные.

Предположим, что каждый гость получает по 3 пирожных из 5 доступных. Это значит, что наборы пирожных для каждого гостя — это подмножества из 3 пирожных, выбранных из 5 возможных.

Число таких уникальных наборов можно посчитать с помощью формулы сочетаний (или биномиального коэффициента):

Это означает, что существует 10 различных наборов пирожных.

Теперь, Пьеро заметил, что если на праздник придёт ещё один гость, то у кого-то из гостей обязательно окажутся одинаковые наборы пирожных. Это возможно только в том случае, если гостей на самом деле было больше, чем 10. Таким образом, если у нас есть 10 разных наборов пирожных, то 11-й гость обязательно получит такой же набор, как один из уже присутствующих гостей.

Значит, Мальвина пригласила 10 гостей.