Решите неравенство: х в квадрате-х-6>=0

Для того чтобы решить неравенство $x^2 - x - 6 \geq 0$, следуем нескольким шагам:

1. Приведем неравенство к удобному виду:

   $$x^2 - x - 6 \geq 0$$

   Нам нужно решить это неравенство.

2. Найдем корни соответствующего уравнения:
   Для этого решим уравнение $x^2 - x - 6 = 0$. Это квадратное уравнение. Для нахождения корней используем формулу дискриминанта:

   $$D = b^2 - 4ac$$

   где $a = 1$, $b = -1$, $c = -6$. Подставляем эти значения:

   $$D = (-1)^2 - 4(1)(-6) = 1 + 24 = 25$$

   Теперь находим корни уравнения по формуле:

   $$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-1) \pm \sqrt{25}}{2(1)} = \frac{1 \pm 5}{2}$$

   Получаем два корня:

   $$x_1 = \frac{1 + 5}{2} = 3, \quad x_2 = \frac{1 - 5}{2} = -2$$

3. Построим числовую прямую и определим знаки:
   Наши корни $x_1 = 3$ и $x_2 = -2$ делят числовую прямую на три интервала:

   • $(-\infty, -2)$

   • $(-2, 3)$

   • $(3, +\infty)$

   Теперь исследуем знак выражения $x^2 - x - 6$ на этих интервалах.

4. Знак на интервалах:

   • На интервале $(-\infty, -2)$ выберем точку $x = -3$:

     $$(-3)^2 - (-3) - 6 = 9 + 3 - 6 = 6 \quad (\text{положительное значение})$$

   • На интервале $(-2, 3)$ выберем точку $x = 0$:

     $$0^2 - 0 - 6 = -6 \quad (\text{отрицательное значение})$$

   • На интервале $(3, +\infty)$ выберем точку $x = 4$:

     $$4^2 - 4 - 6 = 16 - 4 - 6 = 6 \quad (\text{положительное значение})$$

5. Решение неравенства:
   Мы ищем, где выражение $x^2 - x - 6$ больше или равно нулю. Это будет в следующих интервалах:

   • $(-\infty, -2]$ (включая $-2$, так как при $x = -2$ значение равно нулю),

   • $[3, +\infty)$ (включая $3$, так как при $x = 3$ значение также равно нулю).

Таким образом, решением неравенства является: