Найдите множество решений неравенства (5х + 1)(3х - 1) > (4х - 1)(х + 2).

Ответы на вопрос

Отвечает Копейкин Артём.

Решим неравенство $(5x + 1)(3x - 1) > (4x - 1)(x + 2)$ .

Шаг 1: Раскроем скобки.

Сначала раскроем обе стороны неравенства:

(5x + 1)(3x - 1) = 5x \cdot 3x + 5x \cdot (-1) + 1 \cdot 3x + 1 \cdot (-1) = 15x^2 - 5x + 3x - 1 = 15x^2 - 2x - 1

(4x - 1)(x + 2) = 4x \cdot x + 4x \cdot 2 - 1 \cdot x - 1 \cdot 2 = 4x^2 + 8x - x - 2 = 4x^2 + 7x - 2

Теперь подставим эти выражения в исходное неравенство:

15x^2 - 2x - 1 > 4x^2 + 7x - 2

Шаг 2: Переносим все на одну сторону.

Переносим все члены на левую сторону, чтобы получить неравенство с нулем справа:

15x^2 - 2x - 1 - 4x^2 - 7x + 2 > 0

Упростим:

(15x^2 - 4x^2) + (-2x - 7x) + (-1 + 2) > 0

11x^2 - 9x + 1 > 0

Шаг 3: Решаем квадратное неравенство.

Теперь решаем неравенство $11x^2 - 9x + 1 > 0$ . Для этого сначала найдем корни квадратного уравнения $11x^2 - 9x + 1 = 0$ .

Используем дискриминант:

D = (-9)^2 - 4 \cdot 11 \cdot 1 = 81 - 44 = 37

Корни уравнения:

x_1 = \frac{-(-9) + \sqrt{37}}{2 \cdot 11} = \frac{9 + \sqrt{37}}{22}

x_2 = \frac{-(-9) - \sqrt{37}}{2 \cdot 11} = \frac{9 - \sqrt{37}}{22}

Шаг 4: Интервалы, на которых неравенство выполняется.

Так как коэффициент при $x^2$ положительный (11), парабола, описывающая функцию $11x^2 - 9x + 1$ , открывается вверх. Следовательно, неравенство $11x^2 - 9x + 1 > 0$ выполняется на интервалах, где значения функции положительны, то есть за пределами корней.

Таким образом, решение неравенства будет:

x \in (-\infty, \frac{9 - \sqrt{37}}{22}) \cup (\frac{9 + \sqrt{37}}{22}, +\infty)

Последние заданные вопросы в категории Математика