Найдите множество решений неравенства методом интервалов: -(х-1)(5-х)(х+20) > 0.

Для решения неравенства $-(x - 1)(5 - x)(x + 20) > 0$ методом интервалов, действуем поэтапно:

Шаг 1: Привести неравенство к удобному виду

Необходимо избавится от минуса перед выражением. Умножим обе части неравенства на $-1$, при этом знак неравенства поменяется на противоположный:

Теперь нужно решить это неравенство.

Шаг 2: Найти корни уравнения

Для того чтобы разделить числовую прямую на интервалы, нужно найти корни уравнения $(x - 1)(5 - x)(x + 20) = 0$. Корни будут в точках, где каждый из множителей равен нулю:

• $x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$

• $5 - x = 0 \Rightarrow x = 5$

• $x + 20 = 0 \Rightarrow x = -20$

Таким образом, у нас есть три ключевых точки: $x = -20$, $x = 1$, и $x = 5$. Эти точки разбивают числовую прямую на четыре интервала:

1. $(-\infty, -20)$

2. $(-20, 1)$

3. $(1, 5)$

4. $(5, +\infty)$

Шаг 3: Определить знак выражения на каждом интервале

Теперь нужно рассмотреть знак выражения $(x - 1)(5 - x)(x + 20)$ на каждом из интервалов. Для этого подставим тестовые значения из каждого интервала и определим знак произведения.

1. Интервал $(-\infty, -20)$: Возьмём $x = -21$:

   • $x - 1 = -22$ (отрицательно)

   • $5 - x = 26$ (положительно)

   • $x + 20 = -1$ (отрицательно)
     Произведение: $(-22) \times 26 \times (-1) = 572$ (положительно).

2. Интервал $(-20, 1)$: Возьмём $x = 0$:

   • $x - 1 = -1$ (отрицательно)

   • $5 - x = 5$ (положительно)

   • $x + 20 = 20$ (положительно)
     Произведение: $(-1) \times 5 \times 20 = -100$ (отрицательно).

3. Интервал $(1, 5)$: Возьмём $x = 2$:

   • $x - 1 = 1$ (положительно)

   • $5 - x = 3$ (положительно)

   • $x + 20 = 22$ (положительно)
     Произведение: $1 \times 3 \times 22 = 66$ (положительно).

4. Интервал $(5, +\infty)$: Возьмём $x = 6$:

   • $x - 1 = 5$ (положительно)

   • $5 - x = -1$ (отрицательно)

   • $x + 20 = 26$ (положительно)
     Произведение: $5 \times (-1) \times 26 = -130$ (отрицательно).

Шаг 4: Записать решение

Нам нужно решить неравенство $(x - 1)(5 - x)(x + 20) < 0$, то есть найти интервалы, где произведение отрицательно.

Из анализа знаков:

• На интервале $(-20, 1)$ выражение отрицательно.

• На интервале $(5, +\infty)$ выражение также отрицательно.

Таким образом, решение неравенства: