10. Задумали трёхзначное число, первая цифра которого не равна нулю. Из него вычли трёхзначное число, записанное теми же цифрами, но вторую и третью цифру поменяли местами. Получили число 63. Найди все числа, обладающие таким свойством. В ответ запиши числа в порядке возрастания, используя символ «;», без пробелов. Пример: 953;958;978

Обозначим задуманное трёхзначное число как $\overline{abc}$, где $a$, $b$, и $c$ — его цифры. Тогда сам номер будет равен:

Из этого числа вычитаем число, полученное путем перестановки второй и третьей цифры. Полученное число будет выглядеть как $\overline{acb}$, что равно:

По условию задачи, разница между этими числами равна 63:

Подставим выражения для $N$ и $M$:

Упростим:

Разделим обе стороны на 9:

Это означает, что в исходном числе цифра $b$ на 7 больше, чем цифра $c$. Поскольку цифры $b$ и $c$ — целые числа от 0 до 9, то возможные пары значений для $b$ и $c$ такие:

Теперь, зная возможные значения $b$ и $c$, находим числа:

1. Если $b = 7$, $c = 0$, то $\overline{abc} = 100a + 70 + 0 = 100a + 70$. Возможные значения $a$ — от 1 до 9 (поскольку первая цифра не может быть равна нулю). Таким образом, возможные числа: 170, 270, 370, 470, 570, 670, 770, 870, 970.

2. Если $b = 8$, $c = 1$, то $\overline{abc} = 100a + 80 + 1 = 100a + 81$. Возможные значения $a$ — от 1 до 9. Таким образом, возможные числа: 181, 281, 381, 481, 581, 681, 781, 881, 981.

3. Если $b = 9$, $c = 2$, то $\overline{abc} = 100a + 90 + 2 = 100a + 92$. Возможные значения $a$ — от 1 до 9. Таким образом, возможные числа: 192, 292, 392, 492, 592, 692, 792, 892, 992.

Теперь соберем все числа в порядке возрастания:

170;181;192;270;281;292;370;381;392;470;481;492;570;581;592;670;681;692;770;781;792;870;881;892;970;981;992